Urodził się dnia 23 maja 1892 roku w Starej Wsi k/Grójca w rodzinie Ottona i Franciszki z domu Pusselt. Ukończył szkołę elementarną w Błędowie a następnie średnią szkołę techniczna i gimnazjum państwowe w Warszawie. W latach 1910 -1915 studiował w Seminarium Duchownym w Lublinie. Po jego ukończeniu i otrzymaniu święceń kapłańskich podjął pracę duszpasterską w parafiach Częstoborowice i Łabunie. Jednocześnie kontynuował studia w wyższym seminarium duchownym oraz KUL.
Decyzją biskupa lubelskiego Mariana Fulmana w 1919 roku ks. A. Szulc został przeniesiony na wikariusza parafii Lubartów. Dwa lata później mianowano Go rektorem kościoła pokapucyńskiego, powierzając jednocześnie obowiązki katechety (od 1924 roku) prefekta w lubartowskich szkołach. Okresowo – decyzją biskupa Fulmana – zastępował dziekana lubartowskiego. W czasie 17 – letniego pełnienia funkcji rektora ks. Szulc zapoczątkował działalność III Zakonu Świeckiego św. Franciszka. Po powrocie Kapucynów do Lubartowa w 1938 r. Aleksander Szulc zamieszkał w domu przy ul. Mickiewicza 6, skąd codziennie uczęszczał do kościoła św. Wawrzyńca by odprawić poranna mszę św.
Od momentu przeniesienia do Lubartowa ks. Aleksander Szulc związał całe swoje życie i działalność z tym miastem. W czasie najazdu bolszewickiego 1920 roku narażając swoje życie pozostał w mieście wraz z wiernymi. W pierwszych latach po przybyciu do Lubartowa wraz z hrabią Adamem Zamoyskim zorganizował Gniazdo „Kozłówka” będące częścią składową Towarzystwa gimnastycznego Sokół. Był też współzałożycielem pierwszego na Lubelszczyźnie Polskiego Towarzystwa Filatelistycznego w Lubartowie zarejestrowanego 22 kwietnia 1922r. istniejącego do dziś jako koło nr 4. W styczniu 1926 roku został prezesem reaktywowanego koła Polskiej Macierzy Szkolnej, a następnie w 1930 r. podjął się prowadzenia w Lubartowie biblioteki która działała aż do 1948 r.
W okresie międzywojennym ks. Aleksander Szulc został również kapelanem Harcerzy oraz strażaków OSP. Przez szereg lat pełnił funkcje prezesa Rady Nadzorczej Spółdzielczego Stowarzyszenia Jedność w Lubartowie. Jego zaangażowanie w wielu dziedzinach zostało docenione przez ówczesne władze. Otrzymał medal Dziesięciolecia Niepodległości oraz brązowy medal Za długoletnią służbę. W roku 1937 decyzją Prezydenta RP otrzymał Złoty Krzyż za zasługi na polu pracy społecznej.
Z chwilą wybuchu II wojny światowej ks. Szulc został powołany do Wojska Polskiego w stopnia kapitana. Służył do końca kampanii wrześniowej niosąc żołnierzom na froncie duchową pociechę. Po powrocie z wojny zaangażował się w działalność konspiracyjną w strukturach AK Obwód Lubartów. W swoich działaniach wykorzystywał kontakty i doświadczenia legalnej pracy w polskich organizacjach opiekuńczo – charytatywnych , m.in. PCK. Był kapelanem NOW i AK, współredagował konspiracyjne pismo Placówka. Ponadto podjął trud zabezpieczenia przed zniszczeniem przez okupanta księgozbioru biblioteki PMSz, potajemnie wypożyczając książki zaufanym czytelnikom. Zaangażował się również w tajne nauczanie w zakresie szkoły średniej, będąc jednocześnie członkiem tajnej Powiatowej Komisji Oświaty i Kultury.
Po zakończeniu okupacji niemieckiej nie ustawał w pracy duszpasterskiej i społecznej. Dnia 17 lipca 1946 roku został powołany na członka Wydziału dla Spraw Szkolnych Lubelskiej Kurii Biskupiej. Przez jakiś czas pełnił też obowiązki pełnomocnika PCK na Lubartów. Z Jego inicjatywy doszło do zarejestrowania 1 czerwca 1955 roku odnowionego po wojnie koła Polskiego Związku Filatelistów w Lubartowie, w którym to kole ks. Szulc pełnił funkcję przewodniczącego Komisji Rewizyjnej.
W dniu 8 grudnia 1948 r. biskup lubelski Stefan Wyszyński podniósł Go do godności kanonika rzeczywistego Kapituły Kolegiaty Zamojskiej „za prace kapłańskie nad nauczaniem młodzieży w szkołach spełniane z wybitnym pożytkiem”.
Do roku 1958 pracował jako katecheta w lubartowskich szkołach. Był zarówno nauczycielem religii jak i wychowawcą młodych pokoleń Lubartowian wpajając młodzieży zasady wiary i dobrego postępowania w życiu. Skromny i życzliwy wobec każdego był ogromnie lubiany i szanowany przez wszystkich.
Zmarł w Lubartowie dnia 28 lutego 1965 roku i został pochowany na miejscowym cmentarzu.
W roku 1987 Jego wychowankowie, żołnierze AK, oo Kapucyni i społeczeństwo Lubartowa ufundowało Mu w hołdzie tablicę pamiątkową umieszczona w kościele p.w. św. Wawrzyńca a trzy lata później Rada miasta nazwała Jego imieniem jedna z ulic w centrum Lubartowa.
